Die Faltung ist eine mathematische Operation, bei der zwei Funktionen (oder Signale) miteinander kombiniert werden, um eine neue Funktion (oder ein neues Signal) zu erzeugen. Im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen, bei der die Werte direkt miteinander multipliziert werden, beinhaltet die Faltung eine Integration über den gesamten Wertebereich einer Funktion.
Die mathematische Definition der Faltung lautet:
(f * g)(t) = ∫[f(τ) * g(t-τ)] dτ
Hierbei steht „f * g“ für das Ergebnis der Faltung der Funktionen f(t) und g(t) und „∫“ für die Integration. Die Faltung wird erreicht, indem man eine Funktion g(t) spiegelt und zeitlich verschiebt, und dann mit einer anderen Funktion f(τ) multipliziert und das Ergebnis über alle Werte von τ integriert.
Die Faltung wird häufig verwendet, um Filter zu implementieren, Signale zu glätten oder zu dehnen und andere Signalverarbeitungsaufgaben auszuführen.
Die Faltung kann grafisch als Überlagerung und Verschiebung von zwei Signalen dargestellt werden. Das Ergebnis der Faltung ist an jedem Zeitpunkt die Summe der Produkte der überlappenden Signalwerte. Nur dort, wo sich die Signale überlagern ergibt die Multiplikation einen Wert ungleich Null.
Ein einfaches Beispiel für die Faltung ist die Glättung eines Signals. Dazu kann ein Tiefpassfilter verwendet werden, dessen Impulsantwort eine Gauß-Kurve ist. Die Faltung des Signals mit dem Tiefpassfilter führt zu einem geglätteten Signal, bei dem die hochfrequenten Anteile reduziert wurden.
- Filterung: FIR-Filter (Finite Impulse Response) werden durch Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Filters implementiert.
- Glättung: Faltung mit einem Tiefpassfilter kann verwendet werden, um Signale zu glätten und Rauschen zu reduzieren.
- Dehnung/Komprimierung: Durch Faltung mit einem Zeitverzögerungsfilter kann ein Signal gedehnt oder komprimiert werden.
- Korrelation: Die Faltung kann verwendet werden, um die Ähnlichkeit zwischen zwei Signalen zu berechnen.