Grundlagen
Addition und Multiplikation
Wie zwei Signale durch mathematische Grundoperationen zu einem neuen Signal kombiniert werden.
Zwei Signale können durch mathematische Operationen in ein neues Signal konvertiert werden. Allgemein lässt sich die Kombination zweier kontinuierlicher Signale $y_1(t)$ and $y_2(t)$ beschreiben als:
$$y_{neu}(t) = y_1(t) \circ y_2(t)$$
Addition
Bei der Addition werden die Werte von zwei Signalen punktweise addiert, um eine Summe zu erhalten:
$$y_{sum}(t) = y_1(t) + y_2(t)$$
Die Addition ist eine lineare Operation, bei der die Werte direkt addiert werden, ohne dass eine gegenseitige Veränderung ihrer Eigenschaften stattfindet. In der Signalverarbeitung wird die Addition häufig zur Kombination von Signalen verwendet, um sie zu mischen (z. B. in einem Audiomischer) oder um Rauschen zu überlagern.
Die Signale können sich hierbei in Frequenz, Phase und Amplitude unterscheiden.
⚠️ Hinweis zur Frequenz: Bei der Addition von zwei Signalen mit unterschiedlichen Frequenzen entsteht keine Verdopplung der Frequenz. Stattdessen entsteht eine Überlagerung (Superposition), bei der beide Originalfrequenzen nebeneinander im Spektrum existieren. Eine Frequenzverdopplung (oder das Entstehen von Summen- und Differenzfrequenzen) passiert erst bei der Multiplikation.
Im folgenden Bild wird in Grün die Summe folgender Signale dargestellt:
$$y_1(x) = 0.7 + \sin(x)$$
$$y_2(x) = 0.5 \cdot \sin(4.5x + 0.9)$$
$$y_{sum}(x) = 0.7 + \sin(x) + 0.5 \cdot \sin(4.5x + 0.9)$$
Multiplikation
Bei der Multiplikation (auch Modulation genannt) werden die Werte von zwei Signalen miteinander multipliziert:
$$y_{prod}(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)$$
Die Multiplikation ist eine nicht-lineare Operation und hat eine Vielzahl von Effekten. In der Signalverarbeitung wird sie häufig zur Modulation von Signalen verwendet (z. B. AM-Radio), um Informationen auf eine Trägerfrequenz aufzuprägen. Im Frequenzbereich führt die Multiplikation zweier Sinussignale dazu, dass neue Frequenzkomponenten entstehen (die Summe und die Differenz der Ursprungsfrequenzen: $f_1 + f_2$ und $|f_1 - f_2|$). Sie wird auch zur Filterung von Signalen eingesetzt, wenn man das Signal im Frequenzbereich mit einer Filterfunktion multipliziert.
Für die gleichen Signale wie oben ergibt sich folgendes Produkt:
$$y_{prod}(x) = \left(0.7 + \sin(x)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin(4.5x + 0.9)\right)$$
