Grundlagen

Aliasing

Wenn zu niedrige Abtastraten Signale verfälschen — Nyquist-Rate, spektrales Falten und Aliasing-Effekte.

Aliasing tritt auf, wenn ein kontinuierliches analoges Signal nicht mit einer ausreichend hohen Abtastrate digitalisiert wird, um es korrekt wiederherstellen zu können. Frequenzanteile, die zu hoch für die gewählte Abtastrate sind, erscheinen dann fälschlich als niedrigere Frequenzen im digitalen Signal — eine Verfälschung, die sich im Nachhinein nicht mehr rückgängig machen lässt.

Nyquist-Rate und Nyquist-Frequenz — zwei verschiedene Dinge

Das Abtasttheorem (Shannon-Nyquist-Theorem) besagt: Ein Signal lässt sich aus seinen Abtastwerten exakt rekonstruieren, wenn die Abtastrate $f_s$ mindestens doppelt so hoch ist wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz $f_{max}$:

$$f_s \geq 2 \cdot f_{max}$$

Hier lohnt sich eine saubere Trennung zweier Begriffe, die häufig durcheinandergebracht werden:

Begriff	Definition	Bezieht sich auf
Nyquist-Rate	$2 \cdot f_{max}$	das Signal — die Mindest-Abtastrate, um dieses konkrete Signal aliasfrei abzutasten
Nyquist-Frequenz	$f_s / 2$	das Abtastsystem — die höchste Frequenz, die bei der tatsächlich gewählten Abtastrate $f_s$ noch eindeutig dargestellt werden kann

Beide Größen sind nur dann identisch, wenn exakt mit der Mindestrate abgetastet wird ($f_s = 2 f_{max}$). In der Praxis wird fast immer mit einer höheren Rate abgetastet (Oversampling, siehe unten) — dann ist die Nyquist-Frequenz des Systems ($f_s/2$) höher als die Nyquist-Rate des Signals. Aliasing entsteht nicht, wenn die Abtastrate unter der „Nyquist-Frequenz" liegt, sondern wenn die höchste Signalfrequenz die Nyquist-Frequenz des Systems ($f_s/2$) übersteigt.

Anders ausgedrückt: Bei kritischer Abtastung ($f_s = 2f_{max}$) liegen genau zwei Abtastwerte pro Periode der höchsten Frequenz vor — das ist die Mindestanforderung, kein Sicherheitspuffer. In der Praxis wird deshalb meist überabgetastet, um Toleranz gegenüber unerwarteten Frequenzanteilen und den endlichen Flanken realer Anti-Aliasing-Filter (siehe unten) zu haben.

Wie Aliasing entsteht

Übersteigt eine Frequenzkomponente des analogen Eingangssignals die Nyquist-Frequenz $f_s/2$ des Abtastsystems, wird sie beim Abtasten um die Nyquist-Frequenz gespiegelt („gefaltet" — derselbe Begriff wie bei der Faltungsoperation, da Abtastung im Zeitbereich mathematisch einer Faltung des Spektrums mit einem Dirac-Kamm entspricht) und erscheint im digitalen Signal bei einer niedrigeren, falschen Frequenz. Für eine Eingangsfrequenz $f_{in}$ ergibt sich die im Digitalsignal sichtbare Alias-Frequenz allgemein zu:

$$f_{alias} = \left| f_{in} - n \cdot f_s \right|, \quad n = \text{round}(f_{in}/f_s)$$

Beispiel: Bei $f_s = 10$ kHz liegt die Nyquist-Frequenz bei 5 kHz. Enthält das analoge Eingangssignal — neben einem gewünschten 1-kHz-Nutzsignal — ungewollt auch Störanteile bei 9 kHz oder 11 kHz, werden genau diese beim Abtasten auf $|9,\text{kHz} - 10,\text{kHz}| = 1,\text{kHz}$ bzw. $|11,\text{kHz} - 10,\text{kHz}| = 1,\text{kHz}$ gefaltet. Im digitalen Signal landen sie exakt auf der Frequenz des echten 1-kHz-Nutzsignals und sind von diesem nicht mehr zu unterscheiden — das eigentliche 1-kHz-Signal selbst ist dabei völlig unproblematisch, da es weit unterhalb der Nyquist-Frequenz liegt.

Anti-Aliasing-Filter

Da Aliasing nach der Abtastung nicht mehr rückgängig gemacht werden kann, muss jedes Eingangssignal vor dem ADC durch einen Tiefpass (Anti-Aliasing-Filter) auf Frequenzen unterhalb der Nyquist-Frequenz begrenzt werden. Da reale Filter keine unendlich steile Flanke haben, liegt die Grenzfrequenz des Filters in der Praxis spürbar unterhalb von $f_s/2$ — ein weiterer Grund, warum Oversampling üblich ist: Es verschafft der Filterflanke Raum, ohne das Nutzband zu beschneiden. Mehr zur Dimensionierung solcher Filter im Artikel Tiefpassfilter.

Sonderfall SDR: I/Q-Abtastung

Bei reeller Abtastung muss $f_s \geq 2B$ gelten, um eine Signalbandbreite $B$ aliasfrei zu erfassen — die Nyquist-Bedingung „kostet" also den Faktor 2. Bei komplexer (I/Q-)Abtastung, wie sie SDR-Empfänger nach der Quadraturdemodulation durchgängig nutzen, reicht dagegen $f_s \geq B$: Da ein komplexes Basisbandsignal negative und positive Frequenzen unabhängig codiert (siehe IQ-Signale), wird dieselbe Bandbreite mit der halben Abtastrate abgedeckt. Das ist einer der praktischen Gründe, warum SDR-Architekturen konsequent mit I/Q-Signalen statt mit reellen Zwischenfrequenzsignalen arbeiten.

Absichtlich genutztes Aliasing: Unterabtastung (Direct/Harmonic Sampling)

Aliasing ist nicht zwangsläufig ein Fehler — es lässt sich gezielt ausnutzen. Ist ein Signal schmalbandig, aber auf einer hohen Trägerfrequenz angesiedelt, kann man es absichtlich mit einer Abtastrate unterhalb der Trägerfrequenz abtasten (Unterabtastung bzw. Bandpass Sampling). Das Signal fällt dann kontrolliert in eine niedrigere Nyquist-Zone und lässt sich dort ohne vorherige Frequenzumsetzung (Mischer) direkt verarbeiten — solange ein Bandpass statt eines Tiefpasses als Anti-Aliasing-Filter verwendet wird, der nur das gewünschte schmale Band durchlässt. Diese Technik wird bei RTL-SDR-Empfängern tatsächlich genutzt: Der interne ADC tastet mit einer festen Rate ab, HF-Signale oberhalb der halben internen Taktrate werden dabei per Unterabtastung erfasst, ganz ohne analoge Umsetzung.