Grundlagen

Signale

Amplitude, Phase, Frequenz und Spektrum — die vier Grundeigenschaften, die jedes Signal beschreiben.

Ein Signal wird im Wesentlichen durch die vier Eigenschaften Amplitude, Phase, Frequenz und Spektrum definiert. Jede dieser Eigenschaften beschreibt einen bestimmten Aspekt eines Signals, der für die Analyse, Verarbeitung und Interpretation von Bedeutung ist.

Amplitude

Die Amplitude eines Signals beschreibt die Stärke oder Intensität des Signals. Je nach Kontext unterscheidet man verschiedene Amplitudenbegriffe:

• Scheitelamplitude (Peak-Wert $A$): Der maximale Abstand von der Null-Linie bis zum höchsten Punkt einer Schwingung (vorausgesetzt, das Signal hat keinen Gleichanteil).
• Spitzen-Spitzen-Amplitude ($A_{pp}$): Der Gesamtabstand vom tiefsten Punkt (Tal) bis zum höchsten Punkt (Berg) der Welle.

Die Amplitude kann in verschiedenen Einheiten gemessen werden. Für elektrische Signale ist die Einheit typischerweise Volt (V), für akustische Signale oder Leistungspegel nutzt man Dezibel (dB).

Maximalwert: Die maximale Auslenkung eines Signals ist in technischen Systemen kritisch, da zu hohe Spitzenwerte zur Beschädigung von Komponenten oder zu unschönen Verzerrungen führen können (Clipping). Deutlich wird dies z. B. bei einem Lautsprecher, der übersteuert und ggf. zerstört wird, wenn das Eingangssignal zu hoch ist. In der digitalen Signalverarbeitung ist der Spitzenwert wichtig, um das Dynamikverhalten des Systems optimal auszusteuern.

Effektivwert (RMS – Root Mean Square): Der quadratische Mittelwert des Signals über eine Periode entspricht demjenigen konstanten Gleichwert, der die gleiche elektrische Energie (Wärmeleistung) liefert wie das ursprüngliche, zeitlich veränderliche Signal. Für eine reine Sinuswelle mit der Scheitelamplitude $A$ gilt:

$$A_{RMS} = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot A$$

Der RMS-Wert ist besonders wichtig bei periodischen Wechselbändern, da der einfache arithmetische Mittelwert einer symmetrischen Sinuswelle aufgrund der positiven und negativen Halbschwingungen exakt Null wäre. In GnuSDR existiert für die Berechnung des RMS-Wertes ein eigener Block.

Frequenz

Die Frequenz ($f$) eines Signals gibt an, wie schnell das Signal periodisch wiederkehrt, gemessen in Zyklen pro Sekunde bzw. Hertz (Hz). Sie beschreibt die Anzahl der vollen Schwingungen pro Sekunde. Die Periodendauer $T$ ist der Kehrwert der Frequenz:

$$T = \frac{1}{f}$$

Wichtige Begriffe:

• Einheit: Hertz (Hz). $1,\text{Hz}$ bedeutet ein vollständiger Zyklus pro Sekunde.
• Grundfrequenz: Die niedrigste Frequenz, die eine periodische Welle besitzt.
• Oberwellen (Harmonische): Höhere Frequenzkomponenten, die exakt ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind ($2f, 3f, 4f, \dots$).
• Bandbreite: Der Frequenzbereich, in dem das Signal nennenswerte Energie enthält.

Zwischen der zeitlichen Veränderung eines Signals und der Darstellung im Frequenzbereich gibt es einen fundamentalen mathematischen Zusammenhang: die Fourier-Transformation. Während Audiosignale typischerweise Frequenzen im hörbaren Bereich von $20,\text{Hz}$ bis $20,\text{kHz}$ abdecken, bewegen sich Funkwellen (HF) in Bereichen von einigen Kilohertz bis hin zu vielen Gigahertz ($\text{GHz}$).

Phase

Die Phase beschreibt die Verschiebung eines Signals in der Zeit im Verhältnis zu einem gewählten Referenzsignal. Sie gibt den aktuellen Zustand oder "Fortschritt" innerhalb eines Schwingungszyklus an.

Eigenschaften:

• Einheit: Die Phase wird im Gradmaß ($^\circ$) oder im Bogenmaß (Radiant, $\text{rad}$) gemessen. Eine volle Schwingung entspricht $360^\circ$ oder $2\pi,\text{rad}$.
• Phasenverschiebung ($\Delta\phi$): Der Winkel, um den eine Welle gegenüber einer anderen zeitlich versetzt ist.
• Phasenkohärenz: Zwei Signale sind phasenkohärent, wenn sich ihre relative Phasendifferenz über die Zeit nicht verändert.

Die Phase spielt eine entscheidende Rolle bei der Überlagerung von Wellen (Interferenz). In der digitalen Kommunikation wird Information extrem häufig über die Phase übertragen, beispielsweise bei der Phasenmodulation (PSK – Phase Shift Keying).

Spektrum

Das Spektrum eines Signals ist die Darstellung seiner Frequenzkomponenten im sogenannten Frequenzbereich. Es zeigt, wie viel Energie oder Amplitude das Signal bei jeder einzelnen Frequenz besitzt.

Eine reine, unendlich lange Sinusschwingung besitzt im Spektrum genau eine einzige Frequenzlinie (einen Dirac-Impuls). Die Höhe dieses Strichs ist ein Maß für die Amplitude des Signals. Modulierte Signale (wie Sprache oder Daten) besitzen hingegen ein breites Spektrum aus vielen Frequenzen.

In der Praxis spricht man oft von der 3dB-Bandbreite (Halbwertsbreite). Dies ist der Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistung des Signals auf die Hälfte ($50,%$) abgefallen ist. Bezogen auf die Amplitude entspricht das einem Abfall auf ca. $70.7,%$ des Maximalwertes. Zwischen diesen Punkten liegt der Hauptenergiegehalt des Signals.

Um das Spektrum zu begrenzen und Nachbarkanäle nicht zu stören, kommen in Sendern und Empfängern elektronische oder digitale Filter zum Einsatz.

Digitale Signale

In der digitalen Signalverarbeitung (DSP) müssen analoge, zeitkontinuierliche Signale in digitale, zeitdiskrete Signale konvertiert werden. Dies geschieht über einen Analog-Digital-Wandler (ADC), der das Signal in regelmäßigen Zeitabständen abtastet (Sampling) und die Amplitudenwerte in diskrete Zahlenwerte übersetzt (Quantisierung).

Die DSP basiert auf der Abtasttheorie, genauer dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem. Dieses besagt, dass ein Signal nur dann fehlerfrei und ohne Informationsverlust rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastrate ($f_s$) mehr als das Doppelte der höchsten im Signal vorkommenden Frequenzkomponente ($f_{max}$) beträgt:

$$f_s > 2 \cdot f_{max}$$

Für reelle Signale bedeutet dies, dass pro Schwingungsperiode mindestens 2 Messwerte (Samples) erfasst werden müssen.

Wenn die Abtastrate zu klein ist ($f_s \le 2 \cdot f_{max}$), kommt es zum Aliasing (Unterabtastung). Frequenzkomponenten oberhalb der halben Abtastrate (der sogenannten Nyquist-Frequenz $f_N = f_s / 2$) werden spiegelbildlich in das Nutzband zurückgefaltet. Diese Geisterfrequenzen überlagern sich mit den echten Signalkomponenten und führen zu irreparablen Verzerrungen.

Beispiel: Ein analoges Eingangssignal von $8,\text{kHz}$ wird mit einer zu geringen Samplerate von $12,\text{kHz}$ abgetastet. Die Nyquist-Frequenz liegt bei $6,\text{kHz}$. Da das $8,\text{kHz}$-Signal diese Grenze um $2,\text{kHz}$ überschreitet, wird es an der $6,\text{kHz}$-Grenze gespiegelt:

$$f_{alias} = |f_s - f_{in}| = |12,\text{kHz} - 8,\text{kHz}| = 4,\text{kHz}$$

Im digitalen System entsteht dadurch eine scheinbare, verfälschte Frequenzkomponente bei $4,\text{kHz}$.