Grundlagen

Faltung

Wie zwei Signale zu einem neuen verschmelzen — die mathematische Grundlage von FIR-Filtern, Glättung und Systemanalyse.

Die Faltung (engl. Convolution) ist eine fundamentale mathematische Operation der Signalverarbeitung, bei der zwei Funktionen (oder Signale) miteinander kombiniert werden, um eine neue Funktion (oder ein drittes Signal) zu erzeugen. Im Gegensatz zur punktweisen Multiplikation von Zahlen, bei der die Werte direkt miteinander multipliziert werden, beinhaltet die Faltung eine Integration über den gesamten Wertebereich.

Die mathematische Definition der kontinuierlichen Faltung lautet:

$$(f \ast g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot g(t - \tau) , d\tau$$

Hierbei steht das Symbol „$\ast$“ explizit für den Faltungsoperator des Gesamtsystems der Funktionen $f(t)$ und $g(t)$, während das Integral „$\int$“ die kontinuierliche Summation beschreibt.

Der Faltungsprozess lässt sich anschaulich in vier Schritten beschreiben:

1. Spiegeln: Die Funktion $g(\tau)$ wird an der vertikalen Achse gespiegelt zu $g(-\tau)$.
2. Verschieben: Das gespiegelte Signal wird um den Zeitwert $t$ verschoben zu $g(t - \tau)$.
3. Multiplizieren: Das feste Signal $f(\tau)$ wird punktweise mit dem verschobenen Signal $g(t - \tau)$ multipliziert.
4. Integrieren: Die Fläche unter dem Produkt wird aufsummiert und ergibt den Wert des Ausgangssignals für den aktuellen Zeitpunkt $t$.

Die Faltung wird grafisch als Überlagerung und kontinuierliche Verschiebung von zwei Signalen dargestellt. Das Ergebnis der Faltung ist an jedem Zeitpunkt die Summe der Produkte der überlappenden Signalwerte. Nur dort, wo sich beide Signale zeitlich überlagern, ergibt die Multiplikation einen Wert ungleich Null.

Ein einfaches Beispiel für die Faltung ist die Glättung eines Signals. Dazu kann ein Tiefpassfilter verwendet werden, dessen Impulsantwort beispielsweise eine Gauß-Kurve oder ein einfaches Rechteckfenster (gleitender Mittelwert) ist. Die Faltung des verrauschten Eingangssignals mit dieser Filterfunktion führt zu einem geglätteten Signal, bei dem die hochfrequenten Anteile gedämpft wurden.

Die wichtigsten Anwendungsbereiche im SDR- und DSP-Umfeld:

• Filterung: FIR-Filter (Finite Impulse Response) werden im Zeitbereich direkt durch die diskrete Faltung des Eingangssignals mit den Filterkoeffizienten (der Impulsantwort des Filters) implementiert.
• Glättung: Die Faltung mit einem Tiefpassfenster wird verwendet, um Messdaten zu glätten, Rauschen zu reduzieren oder Signalrauschen zu eliminieren.
• Systemantwort: Jedes lineare, zeitinvariante System (LTI-System) lässt sich vollständig durch seine Impulsantwort beschreiben. Das Ausgangssignal ist immer die Faltung des Eingangssignals mit dieser Impulsantwort.
• Verwandtschaft zur Korrelation: Die Faltung ist mathematisch eng mit der Kreuzkorrelation (Ähnlichkeitsanalyse) verwandt. Der entscheidende Unterschied: Bei der Korrelation wird das zweite Signal zur Verschiebung nicht gespiegelt.