Grundlagen

Komplexe Zahlen

Realteil, Imaginärteil und Betrag — die mathematische Grundlage für zweidimensionale Signale.

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der bekannten reellen Zahlen. Sie bestehen aus zwei Teilen: einem Realteil und einem Imaginärteil. In der kartesischen Form werden sie dargestellt als:

$$z = x + j \cdot y$$

Dabei ist $x$ der Realteil und $y$ der Imaginärteil. Die imaginäre Einheit wird in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung als $j$ bezeichnet (um Verwechslungen mit dem elektrischen Strom $i$ zu vermeiden) und ist definiert über:

$$j^2 = -1$$

Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist im reellen Zahlenraum nicht definiert. Durch die Einführung von $j$ wird diese Berechnung möglich.

Eine komplexe Zahl lässt sich hervorragend in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulichen – der komplexen Zahlenebene (auch Gaußsche Zahlenebene genannt). Dabei bildet der Realteil $x$ die horizontale Achse (Realachse) und der Imaginärteil $y$ die vertikale Achse (Imaginärachse).

Der Punkt $z(x, y)$ kann somit auch als Zeiger (Vektor) interpretiert werden, der vom Ursprung $(0,0)$ zu diesem Punkt zeigt. Die Länge dieses Vektors entspricht dem Betrag (der Magnitude) der komplexen Zahl:

$$|z| = \sqrt[2]{x^2 + y^2}$$

Komplexe Zahlen werden in der Technik verwendet, um Größen zu beschreiben, die eine Phasenverschiebung oder zweidimensionale Eigenschaften aufweisen – wie beispielsweise Wechselstrom und Signale im Frequenzbereich (Frequenzdomäne). Sie ermöglichen die elegante, gleichzeitige Berechnung von Amplitude und Phase.

Mathematische Grundoperationen

Digitale Signalprozessoren und SDR-Blöcke führen permanent mathematische Transformationen mit diesen komplexen Wertepaaren durch. Die wichtigsten Rechenregeln für zwei komplexe Zahlen $z_1 = x_1 + j\cdot y_1$ und $z_2 = x_2 + j\cdot y_2$ im Überblick:

Operation	Mathematische Formel	Signaltechnische Bedeutung
Addition	$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + j\cdot(y_1 + y_2)$	Überlagerung/Mischung von Signalen
Subtraktion	$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + j\cdot(y_1 - y_2)$	Differenzbildung / Auslöschung
Multiplikation	$z_1 \cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + j\cdot(x_1 y_2 + x_2 y_1)$	Frequenzmischung: Die Beträge multiplizieren sich ($M_{neu} = M_1 \cdot M_2$), die Phasen addieren sich ($\phi_{neu} = \phi_1 + \phi_2$).
Division	$\frac{z_1}{z_2} = \dots$	Die Beträge dividieren sich ($\frac{M_1}{M_2}$), die Phasen subtrahieren sich ($\phi_1 - \phi_2$).
Betrag (Magnitude)	$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$	Liefert die momentane Signalstärke (Hüllkurve).
Phase (Argument)	$\phi = \operatorname{arctan2}(y, x)$	Liefert die aktuelle Phasenlage des Signals.
Rücktransformation	$x = |z| \cdot \cos(\phi)$ und $y = |z| \cdot \sin(\phi)$	Umrechnung von Polar- in Kartesische Koordinaten.